Лінійна регресія з 
автокорельованими
збуреннями

В цьому розділі ми розглянемо можливість виявлення автокореляції збурень, а також методи 
оцінки регресій за умови автокореляції збурень:
1. Виявлення автокореляції.
2. Узагальнений метод найменших квадратів.

<< Statistics`LinearRegression`

<< Statistics`ContinuousDistributions`

Розглянемо динаміку грошової маси (y) та ВВП (x) України за 1993-1999 роки.

y={47, 79, 260, 386, 574, 927, 1596, 2163, 2681, 3845, 4645, 
          5269, 5562, 6077, 6220, 7306, 8040, 9279, 10464, 10775, 10973, 
          11269, 10873, 12175, 11976, 14242, 15360, 16820};
x={53, 128, 470, 831, 1478, 1982, 2979, 5597, 8318, 10694, 
          16102, 19402, 16688, 17867, 22510, 24454, 18728, 20485, 26076, 
          28076, 20983, 23440, 29516, 29930, 25157, 30110, 37057, 34802};

Z = Transpose[{x, y}];

r = 
      Regress[Z,  {1,  t},  {t},  
        RegressionReport -> {SummaryReport,  DurbinWatsonD}]

1. Виявлення автокореляції

Виявлення автокреляції здійснюється за допомогою статистики Дарбіна-Уотсона. 
Якщо її значення близьке до 2, то автокореляція відсутня. 
Якщо значення значення близькі до 4, то присутня від'ємна автокорреляція. 
Якщо значення статистики Дарбіна-Уотсона близьке до 0, присутня додатня автокорреляція. 
На жаль, "Matematica" не має таблиць розподілу статистики Дарбіна-Уотсона, 
тому неможливо весь аналіз довірити машині.   Фрагмент програми для необхідної перевірки
наведений нижче.

Print[DurbinWatsonD /. r];

Критичні значення для 95% надійного інтервалу дорівнюють (див. табл. DW.pdf) 1,33 та 1,48. 
Таким чином робимо висновок, що присутня додатня автокореляція.

2. Узагальнений метод найменших квадратів

Знаходимо оцінку параметра ρ:

ro = 1 - (DurbinWatsonD /. r)/2

Перетворюємо дані (для того, щоб простіше перетворювати дані, створимо функцію  Transform):

Transform[x_, ro_] := 
        Prepend[Drop[x, 1] - ro Drop[x, -1], (Sqrt[1 - (ro^2)]) 
            x[[1]]];

Розберіть, як працює ця функція на наступному прикладі:

Transform[{(Subscript[z, 1]), (Subscript[z, 2]), (Subscript[z, 3]), (Subscript[z, 4]), (Subscript[z, 5])}, ρ] // 
      TraditionalForm

\(щоб\ підрахувати\ змінну\ \ \(x\_0\%*\), \ створюємо\ вектор\ з\ \(\(одиниць\)\(:\)\)\)

one = Table[1, {i, Length[Z]}]

\(Створюємо\ \(змінну : \ \(x\_10\%*\)\) = \@\(1 - ρ\^2\), \ \(x\_i0\%*\) = 1 - ρ, \ i = \(2, n\)\&_\)

x0 = Transform[one, ro]

\(\(\(\ \)\(Створюємо\ \(змінну : \ \(x\_1\%*\)\) = \(\@\(1 - ρ\^2\)\) x\_1, \(x\_i\%*\) = x\_i - ρx\_\(i - 1\), \ 
    i = \(2, n\)\&_\)\)\)

x1 = Transform[x, ro]

\(Створюємо\ \(змінну : \ \(y\_1\%*\)\) = \(\@\(1 - ρ\^2\)\) y\_1, \(y\_i\%*\) = y\_i - ρy\_\(i - 1\), \ 
        i = \(2, n\)\&_\)

y1 = Transform[y, ro]

Оцінюємо модель за перетвореними даннимиі:

Regress[Transpose[{x0, x1, y1}], {t1, t2},{t1, t2},IncludeConstant -> False]

\(\(Увага!\)\(\ \ \)\)
\(1. \ \ В\ регресії\ за\ перетвореними\ даними\ на\ одну\ незалежну\ змінну\ більше\), \(ніж\ у\ вихідній\ регресії\), тому що \(з'\)явилася штучна змінна \(x\_0\%*\).
2. Регресія за перетвореними даними  - регресія без константи.

Самостійна робота

1. За допомогою комп'ютера розв'язати задачі: 4.9-4.17.

2. Розв'язати задачі: 4.1, 4.6, 4.7, 4.8.